Приложение 6
Решение задач с помощью единичного
отрезка
1. В качестве единичного отрезка числовой прямой может
быть взят любой отрезок. В качестве единичного выбран отрезок 80 см . Сколько сантиметров
надо отсчитать от точки 0, если надо отметить число т =3/4?
Решение. 1. По определению дроби, число 3/4 означает, что
единичный отрезок, надо разделить на 4 равные части и таких частей взять 3.
Поскольку длина единичного отрезка в сантиметрах равна 80, каждая из частей
единичного отрезка равна 80 см
: 4 = 20 см .
Длина трех таких частей в 3 раза больше:
(80 см : 4) × 3 = 20 см × 3 = 60 см .
Ответ. Число 
надо отметить
на расстоянии 60 см
от точки 0.
надо отметить
на расстоянии 2. Установите, на каком расстоянии от точки 0 надо
отметить число 20/13, если в качестве единичного выбран отрезок, длина
которого равна 52 м .
Сделайте рисунок.
Решение. При выполнении рисунка будем исходить из того, что знаменатель
числа 20/13 «требует» разделить
единичный отрезок на 13 равных частей; числитель числа 20/13 «требует» отложить 20
таких частей от
точки 0.
Нет необходимости действительно делить
единичный отрезок на 13 равных частей и откладывать затем 20 таких частей.
Достаточно указать, что единичный
отрезок разделен на 13 равных частей и потому составляет 13/13. А затем «правдоподобно» отметить 20/13 единичного отрезка
правее точки 1. Дроби, о которых идет речь в условии задачи, удобно отмечать
ниже числовой прямой.
3. Найдите число, если 1 3/5 этого числа равны 88.
Сделайте рисунок.
Решение. Начнем с рисунка. Как всегда, когда речь идет о дроби,
на числовой прямой можно отметить какой угодно единичный отрезок и после этого
изображать ниже числовой прямой те дроби, о которых идет речь в условии задачи,
а выше числовой прямой известные и неизвестные соответствующие им числа.
На сколько частей делить единичный отрезок подсказано
условием задачи: у дробного числа 1 3/5 знаменатель 5.
Поскольку 1 3/5 = 8/5, правее точки 1 отмечено 8/5.
Чтобы не ошибиться, какой именно из отрезков выше
числовой прямой имеет неизвестную нам длину k, какой имеет длину 88, перечитаем условие. «Найдите
число, если 1 3/5 этого числа равны 88».
Ясно, что 1 3/5 неизвестного нам числа
соответствует число 88, а расстояние от нуля до единицы следует найти (на рис.
106 оно обозначено буквой k).
Так как 8/5 единичного отрезка
составляют 88 дм, каждая из пяти равных частей, на которые разделен единичный
отрезок, имеет длину 88 дм : 8, а 5 таких частей, составляющих единичный
отрезок, имеют длину (88 дм : 8)×5 = 55 дм.
Ответ. Длина единичного отрезка 55 дм.
4. Туристы должны пройти путь 23 км . Они прошли 17 км . Какую часть пути прошли
туристы?
Решение. Изобразим выше числовой прямой те расстояния, о
которых говорится в условии задачи.
Можно представить себе, что конец каждого километра
пути, который должны пройти туристы, отмечен столбиком. Весь путь в 23 км , который должны пройти
туристы, окажется разделенным на 23 равные части и составляет 23/23 всего пути (рис. 108).
Туристы прошли 17 км .
На рис. 95 соответствующая этому расстоянию часть пути обозначена буквой т. Если на 23 км приходится 23/23 всего пути, то на 1 км приходится 1/23 всего пути, на 17 км – 17/23 всего пути.
Ответ.
Туристы прошли 17/23 всего пути.
5. Найдите,
делая подробные записи, массу лука, который хранится на складе, если 0,31 этой
массы равны 1240 кг .
Решение. Это – задача на дроби: требуется найти число, если
известна часть (дробь) этого числа. Прежде, чем приступить к решению, заменим
десятичную дробь 0,31 обыкновенной дробью 31/100.
Первый шаг. Выполнение
рисунка.
На
рисунке надо изобразить произвольный единичный отрезок числовой прямой.
Ниже
числовой прямой надо отметить дроби 31/100 и 100/100 = 1, о которых говорится
в условии задачи. Выше числовой прямой отмечаются те известные или неизвестные
числа, которые соответствуют отмеченным дробям.
При
этом необходимо учитывать, что в условии сказано: «0,31 этой массы равны 1240
кг», т.е. дроби 31/100 соответствует число
1240. Неизвестное нам число тонн лука на складе обозначим какой-нибудь буквой,
например, буквой х. Рисунок должен получиться
таким:.
Второй шаг. Находим величина, которая приходится на одну часть единичного отрезка. На
31/100 приходится 1240 кг . На одну часть
(т.е. на 1/100)
приходится 1240 кг:31 = 40 кг .
Третий шаг. Находим искомую величину и записываем ответ.
Требуется установить, сколько кг приходится на 100/100 (найти число в 100 раз
больше того, которое приходится на одну часть, т.е. на 1/100).
х = 40
кг × 100 = 4 000
кг = 4 т.
Ответ. На складе хранится 4 т лука.
Подробные записи в тетрадях рассмотренной задачи могут
быть такими.
1) 1240
кг : 31 = 40
кг приходится на одну часть.
2) 40
кг × 100 = 4 000
кг = 4 т лука хранится на складе.
Ответ.4 т.
Краткие записи отличаются от подробных тем, что сразу
после выполнения рисунка записывается числовое выражение, которое позволяет
ответить на вопрос задачи.
Краткие записи при выполнении задания 5 могут быть
такими.
(1240 кг : 31) × 100 = 4 000 кг = 4 т.
Ответ.4 т.
6.
В магазин привезли конфеты в двух ящиках. Масса конфет в первом ящике
составляет 1 2/7 массы конфет во втором
ящике. Установите, делая краткие записи, сколько привезли конфет, если во
втором ящике был 21 кг ?
Решение. В задаче говорится о связи между дробями и
соответствующими им числами. Поэтому попробуем решить эту задачу как задачу на
дроби.
Выполним
рисунок .
В
первом ящике (21 кг
: 7) × 9= 27 кг .
Ответ. В магазин привезли 27
кг + 21
кг = 48
кг конфет.
7.
У
пятиклассника из Турляндии было 48,6 т. (турлика). На книгу для сестры он
потратил 5/9 этой суммы.
Установите, выполняя подробные записи, сколько стоит книга?
Решение. Первым шагом
решения задачи на дроби является выполнение
________________________.
Заполните пропуски на рисунке. Учитывайте, что на книгу для сестры, стоимость k которой надо
найти, потрачено _______ т.
Вторым шагом
решения является отыскание числа турликов, которые составляют _______ часть.
Каждая часть равна _______ : ___ = _____ (т).
Последний шаг решения: находим
то, о чем спрашивается в условии задачи – цену, которая была заплачена за
______________:
( _______ :
______ )×_______ = ________________
Ответ. Книга стоит __________ т.
8. Найдите,
выполняя краткие записи, периметр многоугольника, если известно, что 1
периметра составляют 11 м .
периметра составляют Решение.
Первым шагом решения задачи на дроби является выполнение
________________________. Заполните пропуски на рисунке. Учитывайте, что 1 периметра составляют
_____.
периметра составляют
_____.
При выполнении кратких
записей сразу записывают числовое выражение для отыскания ответа на вопрос
задачи:
( _____ м : ___ ) × ___ = ____.
Ответ. Периметр
многоугольника равен _________ м.
9. Фермер
собрал 96 кг
огурцов. За день их масса снизилась до 91 кг . Какую часть массы потеряли огурцы?
Решение.
Зная первоначальную массу огурцов и массу после дня хранения, можно узнать, на
сколько уменьшилась их масса:
_____ кг – _____ кг = _____ кг.
Требуется узнать, какую часть
составляет _____ кг от _____ кг, т.е. решить задачу на дроби.
Первым шагом решения задачи на
дроби является выполнение ________________________. Заполните пропуски на рисунке.
Учитывайте, что известна первоначальная масса огурцов и найдено, сколько
килограмм потеряли огурцы.
При выполнении кратких
записей сразу записывают числовое выражение для отыскания ответа на вопрос
задачи:
( _____ м : ___ ) × ___ = ____.
Ответ. Огурцы потеряли _____ часть массы.
10.
Найдите 110% от 300.
Первым шагом
решения является выполнение рисунка. На рисунке:
1)
изображается произвольный единичный отрезок числовой прямой;
2)
ниже числовой прямой отмечаются те проценты, о которых говорится в условии
задачи (число 1 это то же самое, что 100%).
3)
выше числовой прямой отмечаются те известные или неизвестные числа, которые
соответствуют отмеченным процентам.
В
условии сказано: «Найдите 110%».
Следовательно, ста десяти процентам соответствует неизвестное число. Ста
процентам соответствует число 300.
Вторым
шагом решения является отыскание величины, которая приходится на один процент.
В данной задаче на 1% приходится 300 : 100 = 3.
Третьим шагом решения является нахождение
искомой величины. Записывается ответ.
На
110% приходится (300 : 100 )×110 = 330.
Ответ. 110% от 300 равно 330.
